Jumat, 20 November 2015

Tugas Kelompok Matematika Informatika 3

Bab 3 : Logika Pembuktian

KELOMPOK 3

2IA03

Anggota Kelompok 3 :

ADI HIDAYATULLAH 50414232

BAYU ABDUL HAFIZH 52414047

BERTIMIRA LESTARI 52414146

M HARIS YUNANDAR 56414237

M ILHAM AFEMI 57414327

M THAMRINALDI APRY 57414567

RAY CEVAZ RIZQIE 5C414837

RIO OKTAVIANO 59414462

WAFIDDIN NAUFAL 5C414112

TEKNIK INFORMATIKA 2014

UNIVERSITAS GUNADARMA

Soal 1

Jika diketahui n adalah ganjil, maka n² adalah .....

A. Ganjil

B. Genap

C. konstanta

D. A dan B benar

E. Tidak ada jawaban yang benar

Jawaban : A. Ganjil

Diketahui n adalah ganjil, artinya terdapat suatu bilangan bulat k sehingga

n = 2k + 1. Akan ditunjukkan bahwa n² ganjil.

n² = (2k + 1)²

= 4k² + 4k + 1

= 2(2k² + 2k) +1.

Perhatikan bahwa n² = 2(2k² + 2k) +1.Karena k adalah bilangan bulat, maka (2k² + 2k) juga pasti bilangan bulat, sehingga n² adalah ganjil.

Soal 2

Pernyataan berikut yang sesuai dengan metode pembuktian kontradiksi adalah…

A. Jika p benar maka q benar

B. Jika ~q benar maka ~p juga harus benar

C. Membuat permisalan jika p maka q adalah benar

D. Suatu pembuktian untuk pernyataan yang memuat bilangan asli

E. Tidak ada jawaban yang benar

Jawaban : A. Membuat Permisalan jika p maka q adalah benar

Kontradiksi ialah dua hal dimana kedua hal tersebut tidak boleh sama sama benar dalam waktu yang sama. Jadi, kita buat pemisalan jika p salah , q benar. Jika kita buat ke dalam operasi logika p maka q (p → q) maka hasil yang didapat adalah benar.

Soal 3

Yang manakah yang termasuk dalam metode pembuktian tidak langsung…

A. Metode kontraposisi

B. Metode Disjungsi

C. Metode Equivalen

D. Metode Ingkarang

E. Metode Eliminasi

Jawaban : A. Metode kontraposisi

Karena metode kontraposisi termasuk metode pembuktian tidak langsung.

Soal 4

Bertikut ini adalah pernyataan yang benar mengenai prinsip induksi sederhana, kecuali.....

A. N ≥ 1 untuk bilangan bulat positif

B. P(1) bernilai benar

C. P(n+1) harus bernilai benar

D. N ≥ 1 untuk bilangan ganjil

E. P(n) harus bernilai benar

Jawaban : D. N ≥ 1 untuk bilangan ganjil

Karena, salah satu ciri dari induksi sederhana adalah N ≥ 1 untuk bilangan bulat positif, sementara pada pilihan D hanya untuk bilangann ganjil.

Soal 5

Apakah N³ + 2n adalah kelipatan 3 berlaku untuk n = 1 dan berlaku kelipatan 3 untuk setiap bilangan bulat postitif n (menggunakan induksi matematika)…?

A. ya dan ya

B. ya dan tidak

C. tidak dan bisa jadi

D. tidak dan tidak

E. tidak ada jawaban yang benar

Jawaban : A. Ya dan ya

q Basis untuk n = 1 akan diperoleh :

13 + 2(1) = 3 yang merupakan kelipatan 3 (ya, berlaku n = 1)

q induksi (misalkan) untuk n = k asumsikan menjadi k³ + 2k = 3x

q adib untuk n = k + 1 berlaku :

(k + 1)³ + 2(k + 1) adalah kelipatan 3

(k³ + 3k² + 3k+1) + 2k + 2

(k³ + 2k) + (3k² + 3k + 3)

(k³ + 2k) + 3 (k² + k + 1)

induksi

3x + 3 (k² + k + 1)

3 (x + k² + k + 1)

Kesimpulan : N³ + 2n adalah kelipatan 3 untuk setiap bilangan bulat positif n (ya, berlaku kelipatan 3).

Soal 6

Terdapat implikasi : Jika 15 habis dibagi 3, maka 15 adalah bilangan ganjil. kemudian 15 habis dibagi 3. Kesimpulannya adalah...

A. 15 habis dibagi 3

B. 15 adalah bilangan ganjil

C. 3 adalah bilangan ganjil

D. 3 habis dibagi 3

E. tidak ada jawaban yang benar

Jawaban : B. 15 adalah bilangan ganjil

Jika 15 habis dibagi 3, maka 15 adalah bilangan ganjil (p → q)

15 habis dibagi 3 (p )

∴ 15 adalah bilangan ganjil ( q)

Soal 7

misalkan p(n) benar untuk semua bilangan positif n ≥ 1 untuk bilangan 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1). p(n + 1) bernilai...

A. Benar

B. Salah

C. A dan B benar

D. A dan B salah

E. tidak ada jawaban yang benar

Jawaban : A. Benar

jika p(n + 1) benar, maka :

n = n + 1

2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1)

2 + 4 + 6 + ... + 2n + 2(n + 1) = n + 1(n + 1 + 1)

2n + 2n + 2 = (n + 1) (n + 2)

2n + 2n + 2 = n (n + 1) + 2n + 2

= n² + n + 2n + 2

= n² + 3n + 2

= (n + 1) (n + 2) Terbukti Benar.

Soal 8

Penyelesaian dari 6x + 8y = 21 dan 3x + 4y = 7 dengan metode eleminasi adalah...

A. 7 = 2

B. 1 = 7

C. 0 = 7

D. 7 = 1

E. 2 = 7

Jawaban : C. 0 = 7

6x + 8y = 21 --> 6x + 8y = 21

3x + 4y = 7 --> 6x + 8y = 14 (persamaan kedua dikalikan dengan 2)

0 = 7

Soal 9

Jika diketahui m, n adalah kuadrat sempurna, maka terbuktik bahwa mn

adalah ...

A. bukan kuadrat sempurna

B. kuadrat sempurna

C. Konstanta

D. A dan C benar

E. Tidak ada jawaban yang benar

Jawaban : B. kuadrat sempurna

Misalkan m, n adalah kuadrat sempurna, artinya

m = k², n = p² untuk suatu k, p bilangan bulat.

mn = (k²)(p²)

= (kp)²

Karena k, p

Soal 10

Dibawah ini pernyataan yang benar tentang metode pembuktian langsung adalah ...

A. 3 adalah bilangan ganjil sebab terdapat 2

B. 4 adalah bilangan genap sebab terdapat 1

C. 5 adalah bilangan ganjil sebab terdapat 2

D. A, B, dan C benar

E. tidak ada jawaban yang benar

Jawaban : C. 5 adalah bilangan ganjil sebab terdapat 2

Suatu bilangan bulat n disebut bilangan GANJIL jika terdapat suatu bilangan bulat k, sehingga

n = 2k + 1.

5 = 2(2) + 1

5 = 4 + 1

5 = 5

Kamis, 15 Oktober 2015

Tugas Matif, Operai Biner

Soal :

11. Tunjukan bahwa himpunan bilangan kelipatan 2 merupakan grup terhadap a * b = a + b

22. Tentukan apakah

a. a * b = a + b + 3

b. a * b = a + b - 2ab

berupa group, monoid , atau Semigroup.

33. Misalkan G = { -1, 1}

Tunjukan bahwa G adalah group abel dibawah perkalian biasa a + b = a * b

44. Diketahui himpunan R = bilangan real tanpa -1

a + b = ab + a + b

tentukan sifat operasi binernya

Jawaban :

11. a * b = a + b

- Tertutup

jika : a = 2 maka : a * b = a + b

b = 2 a * b = 2 + 2 = 4

- Asosiatif

(a * b) * c = a * (b * c)

(a * b) * c = (a + b) * c (a * b) * c = a * (b + c)

= a + b + c = a + b + c

- Identitas

a * e = e * a = a

a * e = a

a * b = a + b e * a e + a = a + e

a * e = a + e a = a

a = a + e

e = 0

- Invers

a ^-1 a ^-1 * a = e

a * b = a + b Misalkan : a ^-1= b

b = -a

a * b = a + b = 0

= a + (-a) = 0

0 = 0

- Komutatif (abel)

a * b = b * a

a + b = b + a

Maka a * b = a + b anggota bilangan kelipatan 2 merupakan group abel

22. a. a * b = a + b + 3

- Asosiatif

(a * b) * c = a * (b * c)

(a * b) * c = (a + b + 3) * c (a * b) * c = a * (b + c + 3)

= n * c = a * n

= n + c + 3 = a + n + 3

= a + b + c + 6 = a + b + c + 6

- Identitas

a * e = e * a = a

a * e = a

a * b = a + b + 3 e * a e + a + 3 = a + e + 3

a * e = a + e + 3 a = a

a = a + e

e = -3

- Invers

a ^-1 a ^-1 * a = e

a * b = a + b + 3 Misalkan : a ^-1= b

b = - a - 3

a * b = a + b +3 = -3

= a + (-a - 3) + 3 = -3

-3

- Komutatif (abel)

a * b = b * a

a + b + 3 = b + a + 3

Maka a * b = a + b + 3 merupakan monoid abel

b. a * b = a + b - 2ab

- Asosiatif

(a * b) * c = a * (b * c)

(a * b) * c = (a + b – 2ab) * c (a * b) * c = a * (b + c – 2 bc)

= n * c = a * n

= n + c - 2nc = a + n – 2an

= (a + b – 2ab) + c – 2(a + b – 2ab)c = a + (b + c - 2bc) – 2a(b + c – 2bc)

= a + b + c – 2ab – 2ac – 2bc + 4abc = a + b + c – 2bc – 2ab – 2ac + 4abc

- Identitas

a * e = e * a = a

a * e = a

a * b = a + b – 2ae e * a e + a – 2ae = a + e – 2ae

a * e = a + e – 2ae – 4ae + a

a – 4ae

a = a + e – 2ae

e = -2ae

- Invers

a ^-1 a ^-1 * a = e

a * b = a + b – 2ae Misalkan : a ^-1= b

b = - a + 2ae

a * b = a + b = -2ae

= a + (-a + 2ae) = -2ae

2ae

-2ae

- Komutatif (abel)

a * b = b * a

a + b – 2ab = b + a – 2ba

maka persamaan a * b = a + b - 2ab disebut semigroup abel

33. a + b = a * b

dengan G { -1, 1}

- Tertutup

a + b = a * b

= -1 * 1

= -1

- Asosiatif

(a + b) + c = a + (b + c)

(a + b) + c = (a * b) + c (a + b) + c = a + (b * c)

= n + c = a + n

= (a * b) * c = a * (b * c)

- Identitas

a + e = e + a = a

a + e = a

a + b = a * b e + a e * a = a * e

a + e = a * e 0 = 0

a = a * e

e = 0

- Invers

a ^-1 a ^-1 + a = e

a + b = a * b Misalkan : a ^-1= b

b = ¹/_a

a + b = a * b = 0

= a * (¹/_a) = 0

- Komutatif (abel)

a + b = b + a

a * b = b * a

maka fungsi a + b = a * b dengan G { -1, 1} bukan merupakan Group melainkan semigroup abel

44. a + b = ab + a + b

dengan R = bilangan real

- Tertutup

a + b = ab + a + b a + b = (2*1) + 1 + 2

a = 1 = 5

b = 2

- Asosiatif

(a + b) + c = a + (b + c)

(a + b) + c = (ab + a + b) + c

= n + c

= nc + n + c

= (ab + a + b)c + (ab + a + b) + c

= abc + ac + bc + ab + a + b + c

(a + b) + c = a + (bc + b + c)

= a + n

= an + a + n

= a(bc + b + c) + a + (bc + b + c)

= abc + ac + bc + ab + a + b + c

- Identitas

a + e = e + a = a

a + e = a

a + b = ab + a + b e + a ae + a + e = ae + a + e

a + e = ae + a + e a²e + a + e = a²e + a + e

a = ae + a + e

e = ae

- Invers

a ^-1 a ^-1 + a = e

a + b = ab + a + b Misalkan : a ^-1= b

ab + b = -a

- Komutatif (abel)

a + b = b + a

ab + a + b = ba + b + a

maka fungsi a + b = ab + a + b dengan P bilangan real merupakan semigroup abel